平均エネルギー6.75 eVは、一回の測定で出る値か

エネルギーが3.00 eVと8.00 eVの二つの正規直交する固有状態から、ψ=(1/2)φ₁＋(√3/2)φ₂を準備しました。一回の測定で各値を得る確率と、エネルギーの期待値を求めましょう。求めた期待値は、一回の測定でも出る値でしょうか。

主問の与件
φ₁のエネルギーE₁=3.00 eV、φ₂のE₂=8.00 eV
正規直交する二状態に対し、c₁=1/2、c₂=√3/2。理想的なエネルギー測定を考えます。

確率は25.0%と75.0%、期待値は6.75 eVです。一回の結果は3.00 eVか8.00 eVです。係数の絶対値二乗で確率を求め、その確率を重みに使って平均を計算します。最後に、同じ状態を四回準備したときの標本平均との違いも数値で確かめます。

ペンタとイコールが夜の学習机で、量子状態と測定結果について考える場面。 — 一回の測定値と、確率から求める平均を分けて考えてみましょう。

1．展開係数から、各測定結果の確率へ戻す

φ₁はE₁ = 3.00 eV、φ₂はE₂ = 8.00 eVというエネルギーが確定した固有状態とします。二つは正規直交しており、それぞれの規格化が1、互いの重なりを表す内積が0です。今回は次の状態ψを準備し、理想的なエネルギー測定を行います。

ψ =（1/2）φ₁＋（√3/2）φ₂
展開係数 c₁ = 1/2、c₂ = √3/2

c₁とc₂は、二つの固有状態をどれだけ重ねるかを表す振幅の係数です。係数の値をそのまま測定確率とするのではなく、絶対値二乗を取ります。正規直交するエネルギー固有状態を使う場合、E_iを得る確率はP_i = |c_i|²です。

P₁ = |1/2|² = 1/4 = 0.250（25.0%）
P₂ = |√3/2|² = 3/4 = 0.750（75.0%）
P₁＋P₂ = 1

正規直交φ1/φ2の係数1/2と√3/2を絶対値二乗、E3eVの確率1/4、E8eVの確率3/4、和1。 — 図1　測定確率を与えるのは、係数の和ではなく絶対値二乗です。1/2と√3/2を二乗すると1/4と3/4になり、確率の和が1へ戻ります。係数と確率は単位なし、エネルギー値にはeVを付けます。

正規直交だから、ψの規格化も|c₁|²＋|c₂|² = 1で確認できます。二つの状態の重なりが0でない場合には、この係数の二乗を単純に確率として並べる方法をそのまま使いません。今回は与えた正規直交条件の下で計算します。

2．期待値は、確率で重みを付けた平均

一回の理想的な測定で得るのは、状態に含まれる固有値3.00 eVまたは8.00 eVです。期待値⟨E⟩は、この二つの値へ各確率を掛けて足した値。8.00 eVの方が起こる確率が大きいので、単純な中点（3＋8）/2 = 5.50 eVより8側へ寄ります。

同じψを各回に準備して測ると、二つの結果には25%と75%という異なる重みがあります。それぞれのエネルギーにその重みを掛けて足す式を選ぶのは、この分布の平均を求めたいからです。確率は無次元なので、確率×eVを足した結果の単位もeVです。

⟨E⟩ = P₁E₁＋P₂E₂
=（1/4）×3.00 eV＋（3/4）×8.00 eV
= 0.75 eV＋6.00 eV = 6.75 eV

E軸0〜10eVで3eVの確率.25、8eVの確率.75の二本棒。6.75eVの点線は平均で測定確率棒ではない。 — 図2　二本の棒の位置が一回の候補3と8、棒の高さが確率25%と75%です。点線6.75は確率で重みを付けた平均の位置で、第三の測定結果ではありません。この状態の一回の測定で6.75 eVを得る確率は0です。

逆算して確かめましょう。二つの候補が3.00 eVと8.00 eVだけなら、8.00 eVの確率をP₂、3.00 eVの確率を1−P₂と書けます。期待値は3.00 eVから、候補間の差5.00 eVのうちP₂だけ8側へ進んだ位置です。

⟨E⟩ = (1−P₂)×3.00 eV＋P₂×8.00 eV
= 3.00 eV＋P₂×5.00 eV
P₂ = (6.75−3.00) eV / (8.00−3.00) eV = 0.750
P₁ = 1−0.750 = 0.250

eV/eVは消えて無次元の確率へ戻り、係数から求めた25.0%・75.0%と一致します。6.75 eVは3.00 eVと8.00 eVの間にあり、8側へ寄ることも確認できます。この逆算は、測定候補がこの二値に限られる条件を使っています。

ペンタ

平均が6.75 eVなら、一回測れば6.75が出るの？

イコール

この状態の理想的なエネルギー測定では、出る値は3か8です。6.75はその二つを25%と75%で重み付けした期待値で、測定候補の固有値ではありません。

ペンタ

3と8の中点5.50でもないのは、8が出やすいからなんだね？

イコール

そうです。二つを半分ずつなら5.50ですが、今回は8を得る確率が3倍です。3×0.25＋8×0.75で6.75になります。確率が平均をどちらへ寄せるかを見ましょう。

3．同じ状態を各回に準備して、測定を繰り返す

25%／75%という分布を繰り返し測定の頻度と比べるには、毎回、元の同じ状態ψを準備し直すことが必要です。各回の測定を独立に行う条件で考えます。最初の測定後の状態を、そのまま次の回の出発状態として使う操作とは違います。

例えば最初に3.00 eVを得た理想測定の直後、状態はその結果に対応するφ₁です。状態を変えず同じエネルギーを直ちに測り直すなら、3.00 eVという同じ結果を得ます。元の重ね合わせψの確率25%／75%を、新しく試したことにはなりません。

ペンタ

同じ粒子を続けて測れば、3と8が25対75で現れる？

イコール

測定直後の状態をそのまま使うと、元のψからの独立な試行にはなりません。最初に3を得たなら対応する固有状態で、状態を変えない直後の再測定も3になります。

ペンタ

25%と75%を確かめたいなら、一回ごとに最初のψを準備し直すんだね？

イコール

そうです。毎回同じψを準備し、独立に測定して結果を集めます。その結果の頻度と平均を、ψが与える確率と期待値へ比べます。

4．四回の標本平均が6.75 eVになる確率は？

四回測れば必ず一回が3、三回が8になる、という意味ではありません。四回の実際の結果を足して四で割る標本平均は、その回に起きた内訳で変わります。図では、同じψを各回に準備した場合に起こり得る内訳をいくつか示します。

各回同じψ再準備した4回の可能な結果例：8/8/8/8は平均8、3/8/8/8は6.75、3/3/8/8は5.5。各回同じψを準備した場合の可能な内訳。 — 図3　どの一回の結果も3か8です。四回の平均は8.00、6.75、5.50などになり得ます。示した内訳の起こりやすさが同じという意味ではありません。有限回の標本平均を、期待値と必ず一致する数として扱いません。

この四回で8.00 eVを得た回数をjとすると、3.00 eVは4−j回です。標本平均は{3.00×(4−j)＋8.00×j}/4=3.00＋1.25j eVなので、6.75 eVになるのはj=3の場合です。

8が三回、3が一回という特定の並びの確率は(3/4)³×(1/4)=27/256です。3が出る位置は一回目から四回目まで四通りあるので、標本平均が6.75 eVになる確率はその四倍になります。

P（四回の平均が6.75 eV） = 4×(3/4)³×(1/4)
= 108/256 = 0.421875 ≈ 42.2%

同じψを独立に四回準備した標本平均の分布。平均3、4.25、5.50、6.75、8eVに対する確率は各1、12、54、108、81を256で割った値。 — 図4　一回の測定候補は3.00 eVと8.00 eVですが、四回の標本平均には五つの候補があります。平均6.75 eVの確率は約42.2%です。五つの確率の和は(1＋12＋54＋108＋81)/256=1へ戻ります。

一回で6.75 eVを得る確率は0、四回の標本平均が6.75 eVになる確率は約42.2%です。平均の値が同じでも、どの測定・どの平均を問うかで答えが変わります。独立に同じψを多数回準備すれば標本平均は期待値へ近づく傾向があります。期待値は状態が定める分布の平均、標本平均は集めた結果の平均です。

5．自分で確かめる：係数を入れ替えて符号を変えたら

同じ正規直交状態φ₁（3.00 eV）とφ₂（8.00 eV）を使い、別の状態ψ′ =（√3/2）φ₁−（1/2）φ₂を準備します。①二つの測定確率、②期待値、③一回の測定で得る値を求めてください。④係数の−符号によって負の確率になるか、説明してください。

解答　①P₁ = |√3/2|² = 3/4、P₂ = |−1/2|² = 1/4。和は1です。②⟨E⟩ = 3.00×0.75＋8.00×0.25 = 4.25 eV。③一回の候補は3.00 eVと8.00 eVで、4.25 eVではありません。④絶対値二乗を取るため確率は負になりません。今回はエネルギー測定についての答えで、成分の相対的な符号がどの測定にも無関係だとは一般化しません。