Mg₂P₂O₇を量ったのにMg％が分かる？―秤量形から元試料へ戻す

元試料0.6000 gに含まれるMgを、純粋なMg₂P₂O₇として回収すると、秤量値は0.1875 gでした。元試料中のMgは質量で何％でしょうか。量ったのは化合物全体なので、まずそこに含まれるMgの質量へ換算します。

解く問題
元試料：0.6000 g
空試験補正済みの純粋な秤量形Mg₂P₂O₇：0.1875 g
元試料のMgを定量的に回収した与件
教材用の丸めたモル質量：
M(Mg)=24.30 g/mol
M(P)=31.00 g/mol、M(O)=16.00 g/mol
求める量：元試料中のMg質量％

計算は秤量形のg→秤量形のmol→Mgのmol→Mgのg→元試料に対する％の順です。Mgは約0.04094 gとなり、元試料0.6000 gを分母にして約6.823％と求まります。各換算で、何の量を数えているか追ってみましょう。

ペンタとイコールがノートを前に、量った化合物と報告したい元素を相談している。 — ノートには固体の質量。でも知りたいのは、元の試料に含まれていたMgです。数える対象を一段ずつ変えます。

1．量った化合物を、元試料のMgへ対応させる条件

重量分析では、組成の決まった化合物の質量から、元試料の分析対象量を求めます。最終的に量る化合物を秤量形と呼びます。今回の秤量形はMg₂P₂O₇、報告する対象は元素Mgです。試料と秤量値は教材用の与件として扱います。

本稿は与えられた秤量形からの計算です。元試料のMgが定量的に回収され、純粋で組成の正しいMg₂P₂O₇になっていることを仮定します。定量回収とは、元試料のMgを失わず計算対象へ移せたという条件です。また、試薬などに由来する余分な質量は、適切な空試験で補正済みとします。

2．Mg₂P₂O₇の1 molは、Mgを2 mol含む

ここでM(X)はXのモル質量です。これらの値をこの問題の与件として統一して使います。この与件では、回収率と純度を前節の仮定どおりとして計算します。

化学式Mg₂P₂O₇の小さい2はMgが二つ分、もう一つの2はPが二つ分、7はOが七つ分という組成比です。固体を孤立した分子として描く必要はなく、式に対応する量1 molにはMgが2 mol含まれるという換算に使います。

M(Mg₂P₂O₇) = 2M(Mg)＋2M(P)＋7M(O)

= 2×24.30＋2×31.00＋7×16.00

= 222.60 g/mol

Mg₂P₂O₇ 1 molの222.60 gのうち、Mgに対応する質量は2×24.30 = 48.60 gです。残りはPとOに対応します。

ペンタ

固体が0.1875 gなら、そのままMgが0.1875 gあるの？

イコール

そのgにはPとOの質量も含まれています。Mg₂P₂O₇ 1 molの222.60 gのうち、Mgは2 mol分の48.60 gです。

ペンタ

Mgの2 molは、式のMgの後ろにある2から出たんだね？

イコール

はい。化合物1 molにつきMgを2 mol数えます。その2を使って、固体の物質量からMgの物質量へ変えます。

3．秤量形のgから、Mgのgへたどる

最初に、秤量した固体の質量をそのモル質量で割ります。式に対応する量1 molが222.60 gなので、0.1875 gがその何mol分かを求める割り算です。この段階の対象はMg₂P₂O₇です。

n(Mg₂P₂O₇) = 0.1875 g222.60 g/mol

≈ 0.000842318 mol

次に、Mg₂P₂O₇ 1 molにつきMgが2 molという比を掛けます。2 mol Mg / 1 mol Mg₂P₂O₇の上側は求めたいMg、下側は今分かっている秤量形です。秤量形のmolが消えてMgのmolになり、最後にMgのモル質量24.30 g/molを掛けるとMgのgへ変わります。

n(Mg) = 2n(Mg₂P₂O₇) ≈ 0.001684636 mol

m(Mg) = n(Mg)×24.30 g/mol

≈ 0.0409367 g

一つの換算係数へまとめるなら、次の比です。分子は「秤量形1 mol中のMgのg」、分母は「秤量形1 molのg」なので、g Mg/g Mg₂P₂O₇という意味を持ちます。g同士は打ち消せますが、対象の名前は残して読めるようにします。

重量分析の換算係数 = 2M(Mg)M(Mg₂P₂O₇)

= 48.60/222.60 ≈ 0.21832884

m(Mg) = 0.1875 g×0.21832884 ≈ 0.0409367 g

ペンタ

途中のmolを省いて、0.1875に24.30/222.60を掛けてもよい？

イコール

Mgが一つならその比ですが、この秤量形には二つ分あります。2×24.30/222.60を掛けます。2を落とすとMg質量が半分になります。

ペンタ

単位はどちらもgに直るのに、係数の間違いは見つからないね。

イコール

単位だけでは分かりません。Mg₂P₂O₇ 1 molにMgが2 molという化学式の対応へ戻して、係数の2を検査します。

4．最後の分母は、元試料0.6000 g

定量回収という与件により、ここで求めた0.0409367 gは元試料に含まれていたMgの質量へ対応します。元試料中のMg質量分率は、このMg質量を元試料の全質量で割ります。0.06823…は全体を1とした割合なので、％表示には100を掛けます。

Mg質量％ = m(Mg)m_sample ×100

= (0.040936657…/0.6000)×100

≈ 6.823％

ペンタ

割合なら、量った0.1875 gで割る方が自然に見えるけど。

イコール

それで分かるのは、量った固体中のMg割合です。今回の問いは元試料中のMg割合なので、元試料0.6000 gを分母にします。

ペンタ

同じMgのgでも、知りたい対象が変わると％が変わるんだね？

イコール

そうです。Mg₂P₂O₇中なら約21.83％、元試料中なら約6.823％。分母の名前を付けて、どの全体に対する比か書きます。

5．逆向きの計算で、秤量値へ戻す

桁を丸める前のMg質量を、換算係数で割れば元の秤量値へ戻ります。また、Mgの質量は化合物全体より小さく、この例では元試料の質量よりも小さくなっています。

0.040936657… g÷(48.60/222.60) = 0.1875 g

Mgのmolから戻すなら、n(Mg)/2 = n(Mg₂P₂O₇)

そのmol×222.60 g/mol = 0.1875 g

この逆算は、換算の向きと数値が対応するかの確認です。実試料の回収や純度も同時に証明する操作ではありません。Mgだけを一部失えば、回収した固体から求めたMg量は元の全Mgより小さくなります。また、Mgを含まない不純物や余分な水分の質量を足してしまえば、全てをMg₂P₂O₇として換算したMg量を大きく見積もります。だから、前節までの計算には定量回収・純度・正しい組成・空試験補正済みという条件が必要です。

もう一歩：生成形と秤量形が違う場合

重量分析では、分析対象を沈殿などへ移し、質量からその量を求めます。Mgの教材例には、MgNH₄PO₄·6H₂Oという沈殿から、組成の定まったMg₂P₂O₇を秤量する考え方があります。最初に得る生成形と、最終的に量る秤量形は同じ式とは限りません。報告したいのは、そのどちらの化合物の質量％でもなく、元素Mgの質量％です。

生成形MgNH4PO4六水和物2molと、秤量形Mg2P2O7の1molはいずれもMg2molを含む。報告対象は元素Mg。 — 図3｜対応を作るのはMgの量です。生成形2 molが含むMgと、秤量形1 molが含むMgはともに2 mol。水やアンモニアを含む形が変わるので、両固体の全質量がそのまま保存するという図ではありません。

6．対象と分母を選ぶ確認問題

問1　別試料1.200 gから、同じ条件でMg₂P₂O₇を0.1875 g得ました。Mgの質量とMg質量％は主例と同じですか。

解答：Mg質量は同じ約0.0409367 gです。

分母の元試料質量が2倍なので、質量％は(0.040936657…/1.200)×100 ≈ 3.411％。

問2　Mg質量％が10.00％の元試料0.6000 gなら、同じ定量回収・純粋な秤量形・空試験補正済み条件で、期待されるMg₂P₂O₇の質量は？

解答：Mg質量 = 0.6000×0.1000 = 0.06000 g。

秤量形の質量 = 0.06000×(222.60/48.60) ≈ 0.2748 g。

Mgから秤量形へ戻すので、係数を逆向きに使います。

答えを作るのは、化学式が示す「秤量形1 molにMg 2 mol」の対応と、元試料の質量という分母です。割る・掛けるモル質量には物質名を付け、最後まで丸める前の数値を使うと、約6.823％まで同じ経路で求められます。

参考資料

生成形と最終秤量形の組成、Mgの形の変換、元素を保存して質量へ換算する考え方は、David Harvey『Analytical Chemistry 2.1』8.2 Precipitation Gravimetry、Composition of the Final Precipitate／Quantitative Calculationsを参照しました。本稿の試料・秤量値と丸めたモル質量は教材用与件で、図と確認問題は独立に計算しています。