logという記号を見たら、まず「10の何乗かを知りたいのだな」と読んでみましょう。1は10の0乗、10は10の1乗、100は10の2乗。この1・10・100と、0・1・2の対応が、常用対数の入口です。
1．1・10・100を、0・1・2へ読み替える
102 = 10 × 10 = 100では、大きな10が底、右上の小さな2が指数です。「底の10を何乗すると、その数になるか」を答えるのが対数です。10を底にする対数を常用対数と呼び、log10と書きます。
101 = 10 ↔ log10 10 = 1
102 = 100 ↔ log10 100 = 2
log10 100 = 2は、「10の何乗が100か」と尋ねて、2と答えています。逆に、その答え2を10の指数へ置けば、102 = 100へ戻れます。100 = 1は、指数が1下がるごとに10で割る並びでも確かめられます。100 → 10 → 1に対応して、指数は2 → 1 → 0です。
ペンタlogは、100を10で割る記号じゃないんだね。
イコールはい。log10 100は、10の何乗が100かを尋ねています。102 = 100なので、答えは2です。
ペンタじゃあ、答えが3だったら、元の数は1000？
イコール103 = 1000なので、その通りです。log10 1000 = 3と、1000 = 103は同じ関係を表しています。
ここではlogは底10の対数として使います。文献や計算ソフトによってlogの底が違う場合があるので、底の指定を確認します。以後も式にはlog10と底を示します。
2．負の指数は、負の数ではなく逆数
100 → 10 → 1から、さらに10で割ると0.1、0.01、0.001です。指数は0から−1、−2、−3へ下がります。
10−2 = 1/100 = 0.01
10−3 = 1/1000 = 0.001
log10 0.1 = −1
log10 0.01 = −2
log10 0.001 = −3
10−3のマイナスは、103の逆数を取る意味です。値の0.001は正の数です。ここでは実数の対数を扱うので、log10の中へ入れる数xはx > 0です。0や負の数は、この範囲では対数の値を持ちません。
ペンタlogの答えがマイナスになるのは、入れた数が負だからじゃないんだ。
イコール1より小さい正の数を入れると、答えが負になります。例えば0.001を戻すには10の−3乗が必要なので、対数は−3です。
ペンタ0.01の−2と、0.001の−3なら、どちらが大きい数を表す？
イコール0.01のほうです。対数も−2のほうが−3より大きいです。負の指数でも、指数が1上がると元の数が10倍になる関係は同じです。
3．10倍を、対数では「1の差」と読む
1 → 10 → 100は、どちらの段階も10倍です。しかし差は9と90で、同じではありません。普通の線形軸では数の差を距離で示し、対数軸では対数の差、つまり元の数の倍率を距離で示します。
例えば0.001から0.010へ10倍すると、log10の値は−3から−2へ1増えます。100倍なら、指数は二段階上がるので対数は2増えます。
xが100倍 → log10 xは2増える
二つの値を比べるとき
log10 x2 − log10 x1
= log10（x2/x1）
差がlog10（比）になるのは、対数の積を和に、商を差にする性質によります。正のaとbに対し、log10（ab）= log10 a + log10 b、log10（a/b）= log10 a − log10 bです。
「log10（a + b）= log10 a + log10 b」と、足し算へ同じ操作をすることはできません。a = b = 10なら、左はlog10 20 ≈ 1.3010ですが、右は1 + 1 = 2になり、違う値です。
4．式の前のマイナスで、増減が逆になる
化学では、正の値の対数にマイナスを付けたq = −log10 xという形をよく使います。今回は数学の意味だけを、単位のない正の比xで確かめます。
log10 x = −3
q = −（−3）= 3
x = 0.010なら
log10 x = −2
q = −（−2）= 2
元のxが10倍になったとき、log10 xは1増えますが、前にマイナスが付くqは1減ります。指数の中のマイナスと、logの前のマイナスを一つずつ読みます。
ペンタqが2なら、xは102 = 100に戻すんじゃないの？
イコールq = −log10 xなので、log10 x = −qです。qが2なら、指数は−2になり、x = 10−2 = 0.01です。
ペンタ式の前にあったマイナスを、戻すときも忘れないんだね。
イコールはい。qが増えるとxは小さくなります。q = 3ならx = 0.001なので、q = 2のときより10分の1です。
整数でない指数も使えます。例えばlog10 2 ≈ 0.3010なので、100.3010 ≈ 2です。x = 0.00500ならq ≈ 2.3010となり、逆算はx = 10−2.3010 ≈ 0.00500。−2.3010全体が指数です。
5．lnは底eの対数。logと計算ボタンを区別する
ln（エルエヌ）は自然対数で、底はe ≈ 2.71828です。ln x = yは、ey = xという意味です。対応の読み方は常用対数と同じで、底だけが変わります。
ln e = 1 ↔ e1 = e
ln x =（ln 10）log10 x
ln 10 ≈ 2.302585
x = 10ならlog10 10 = 1ですが、ln 10 ≈ 2.302585です。xを10倍にしたとき、自然対数は1ではなくln 10だけ増えます。
計算機ではlogとlnを使い分け、戻すときも底を合わせます。log10の逆算は10y、lnの逆算はey（exp yとも書きます）。例えばln 2 ≈ 0.6931へ、e0.6931を計算すると約2に戻ります。
6．化学の量は、基準量で割ってから対数へ
対数の中へ入れるのは単位のない比です。例えば濃度c = 0.0100 mol/Lを、同じ単位の基準濃度c° = 1 mol/Lで割ると、単位が打ち消し合います。ここでのc°は、比を作るために指定した基準値です。
= 0.0100 mol/L1 mol/L
= 0.0100
log10（c/c°）= log10 0.0100 = −2
両方をmmol/Lで書いても、c = 10.0 mmol/L、c° = 1000 mmol/Lなので、比は0.0100のままです。cだけの数値10.0をlogへ入れてしまうと、単位の選び方で答えが変わります。分母の基準量まで一緒に書けば、この誤りを防げます。
7．理解を確かめる3問
① log10 1000はいくつ？ 逆算もしてください。
解答：103 = 1000なので3。その3を指数に置き、103で1000へ戻ります。
② xが0.0001から0.01になった。q = −log10 xはどう変わる？
解答：元のxは100倍です。qは4から2へ2下がります。logの値は−4から−2へ2増え、前のマイナスでqの増減が逆になります。
③ c = 2.00 mmol/L、基準c° = 1 mol/L。対数に入れる比は？
解答：基準を1000 mmol/Lにそろえ、2.00/1000 = 0.00200です。log10（c/c°）≈ −2.6990。2.00だけの対数ではありません。
参考資料
対数と指数の定義・底の変換はNIST Digital Library of Mathematical Functions §4.2（4.2.8、4.2.11–18、4.2.25–28）を参照。化学で使うlog・ln・expの記号と、量を同じ単位の基準で割る扱いはIUPAC Green Book第3版（2012年第2刷）§1.1・§4.2を参照しています。
国内教材の説明段階はベネッセ高校学習「対数って何ですか？logの意味がよくわかりません」を参考にしました。本文の数値例、会話、図は独自に作成しました。
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